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    <title>Hilbert 空间及其上的有界线性算子</title>
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<h2>基本概念</h2>

<ol class="definition">
	设 `H` 是数域 `bbb P` 上的线性空间, 如果存在 `H xx H` 到 `bbb P`
	的映射 `(*,*)`, 满足:
	<li>正定性: `(AA x in H)`, `(x, x) ge 0`, 且 `(x, x) = 0 iff x = 0`;
	</li>
	<li>共轭对称性: `(AA x, y in H)`, `(x, y) = bar ((y, x))`;</li>
	<li>关于第一变元的线性性: `(AA x, y, z in H)` `(AA alpha, beta in bbb
		P)` `(alpha x + beta y, z) = alpha(x, z) + beta(y, z)`.
	</li>
	则称 `(*,*)` 为 `H` 中的<b>内积</b>, 称 `H` 为<b>内积空间</b>.
	容易推出内积关于第二个变元是共轭线性的, 即
	<span class="formula">
		`(z, alpha x + beta y) = bar alpha (z, x) + bar beta (z, y)`.
	</span>
	通过内积可以引入范数
	<span class="formula">
		`||x|| = sqrt((x"," x))`,
	</span>
	故内积空间是线性赋范空间.
</ol>

<p class="definition">
	完备的内积空间称为 <b>Hilbert 空间</b>. Hilbert 空间是 Banach 空间.
</p>

<h2>内积空间中的标准直交系</h2>
<h2>投影定理与直交系</h2>
<h2>投影定理</h2>

<p class="theorem">
	<b>投影定理</b>
	设 `M` 是 Hilbert 空间的闭子空间, 则任意 `x in H` 可以唯一表示成
	<span class="formula">
		`x = y + z`, `y in M`, `z in M^_|_`.
	</span>
	称 `y` 为 `x` 在 `M` 上的直交投影, 记为 `P(x)`.
</p>

<p class="proof">
	因为 `M` 是 `H` 的闭子空间, 所以 `M` 也是 Hilbert 空间. 存在 `M`
	的正规直交基 `{bm e_alpha}_(alpha in I)`, 且对任意 `x in H`, 对应的
	Fourier 系数 `(x, bm e_alpha)` 至多只有可数多个不为零, 并且
	<span class="formula">
		`sum_(alpha in I) (x, bm e_alpha) bm e_alpha`
	</span>
	在 `M` 中收敛, 记它收敛到 `y in M`, 则对任意 `alpha in I`,
	<span class="formula">
		` (x - y, bm e_alpha)
		= (x, bm e_alpha) - (y, bm e_alpha)
		= (x, bm e_alpha) - (x, bm e_alpha) = 0`.
	</span>
	令 `z = x - y`, 由上式知 `z _|_ M`.
	由极限的唯一性知 `y, z` 是唯一的.
	当然, 唯一性也可由 `M nn M^_|_ = {0}` 推得.
</p>

<h2>Riesz 表示定理, Lax-Milgram 定理</h2>

<p class="theorem">
	<b>Riesz 表示定理</b>
	设 `H` 是 Hilbert 空间, 则对任意 `f in H^**`, 存在唯一 `y in H`, 使得
	<span class="formula">
		`f(x) = (x, y)`, `AA x in H`,<br/>
		`||f|| = ||y||`.
	</span>
</p>

<ol class="proof">
	<li>如果 `f = 0`, 取 `y = 0` 即可. 下设 `f != 0`,
		则 `"Ker" f` 是 `H` 的闭子空间, 且 `"Ker" f != H`. 取 `x_0
		in "Ker" f^_|_`, 且 `f(x_0) = 1`, 对 `AA x in H`, 有
		<span class="formula">
			`f(x - f(x) x_0) = f(x) - f(x) f(x_0) = 0`,
		</span>
		于是 `x - f(x) x_0 in "Ker" f`.
		取 `y = x_0/||x_0||^2`, 则
		<span class="formula">
			` (x, y)
			= ((x"," x_0))/((x_0"," x_0))
			= ((x - f(x) x_0, x_0) + f(x) (x_0, x_0)) / ((x_0","x_0))
			= f(x)`,
			`AA x in H`.
		</span>
	</li>
</ol>

<h2>`H_0^1` 空间</h2>
<h2>共轭算子</h2>

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</html>
